导线测量是目前工程平面控制测量贯常采用的形式。导线是由若干条直线连成的折线，每条直线叫导线边，相邻两直线之间的水平角叫做转折角。测定了转折角和导线边长之后，即可根据已知坐标方位角和已知坐标算出各导线点的坐标。按照测区条件和需要，导线可布置成附和导线、闭合导线、支导线、结点导线、导线网的形式，见图6-5-1~图6-5-6。导线测量也分内业和外业2大工作内容。
导线测量外业
导线测量的外业工作包括踏勘、选点、、埋石、造标、角度测量、边长测量、方向测定以及导线连接测量。
图6-5-1 附和导线
图6-5-4 支导线
导线测量内业
导线测量内业的主要工作是根据外业观测数据计算出未知点的坐标。导线的布设形式不同其计算方法也不同，目前，结点导线、导线网人们通常借助计算机软件完成计算工作，附和导线、闭合导线、支导线因计算简单可通过人工计算完成，因此，本书主要介绍附和导线、闭合导线、支导线的计算方法。支导线没有检核条件、不存在不符值问题，其计算可以利用坐标反算、方位角的连续推算、坐标正算轻易完成，故本文不做过多介绍。
6.5.2.1 附和导线计算
见图6-5-1。已知点A、B、C、D4点坐标已知，βB、β1、β2、β3、β4、β5、βC为通过观测获得的转折角（左角，水平角），DB1、D12、D23、D34、D45、D5C为通过观测获得的导线边长（水平距离），欲通过计算获得未知点1、2、3、4、5点的最或然坐标。计算过程如下：
（1）反算首、尾方位角[αAB]、[αCD]
根据A、B、C、D4点坐标，利用坐标反算原理，反算AB、CD的方位角[αAB]、[αCD]，应算2次，以免出错。
（2）计算各导线边的近似方位角αi（i+1）
从已知边AB开始，沿着A→B→1→2→3→4→5→C→D的顺序，按照方位角的连续推算原理，利用观测获得的转折角βi ，以首方位角 [αAB] 为基础，获得各导线边的近似方位角αi（i+1），直到αCD。计算公式为：
αi（i+1）=[（α（i-1）i＋βi）±180°] （6-5-1）
由于观测获得的转折角βi包含误差，因此，根据βi推算的各导线边的方位角为近似方位角，且最后推算的已知边CD的方位角αCD肯定不等于它的真实方位角[αCD]，αCD与[αCD]的差值反映的就是7个转折角βi的总误差，该总误差被称为方位角闭合差。
（3）计算导线的方位角闭合差ωα
计算公式为：
ωα=αCD－[αCD] （6-5-2）
测量工作中，对任何误差都规定有限差，方位角闭合差也不例外，若ωα超限说明某个（或某几个）转折角测量有错误、应重新测量。只有当ωα不超限时方可进行下一步计算。即要求：
│ωα│≤│ωαX│ （6-5-3）
ωαX见表 7-4-2。对三级导线
ωαX=±24″n1/2 （6-5-4）
式（6-5-4）中，n为测站数（或转折角的个数）。对图6-5-1来讲，n=7。
（4）计算各转折角βi的改正数vβi
方位角闭合差ωα是n个（图6-5-1为7个）转折角βi的总误差，由于测量时βi是等精度观测的，因此，n个转折角βi的误差是相等的，其改正数也应该相等，因此，各个转折角βi的改正数vβi均为
vβi=－ωα/n （6-5-5）
vβi的取位同βi，即βi取位到“″”、则vβi也取位到“″”，“″”以后的值进行凑整处理。处理方法同2.5.2.1之（2）。
vβi凑整处理后会带来一个方位角闭合差分摊不完全的问题，因此，必须求出方位角闭合差分摊后的残余误差δω（或残余改正量δvω），即
（6-5-6）
若根据式（6-5-6）计算出的δvω=0则说明分摊完善，若δvω≠0则需要进行二次分摊。
当δvω≠0时δvω的值通常也都很小（数值在最小保留位数档，数目字远小于转折角个数），二次分摊的原则是将δvω拆单（拆成若干个1）按照βi值的大小由大到小顺序依次分摊、直到全部分摊完毕为止。比如图6-5-1计算的δvω=－3″（说明欠3″），则给最大的βi的改正数增加1″、给第二大的βi的改正数增加1″、给第三大的βi的改正数增加1″、其余βi的改正数不变。
这样，二次分摊后各βi的改正数就变成了vβi′，应再次校核一下：
（6-5-7）
校核无误方可进行下一步计算。
（5）计算各转折角βi的最或然值βi′
计算公式为：
βi′=βi＋vβi′ （6-5-8）
（6）计算各导线边的最或然方位角αi（i+1）′
从已知边AB开始，沿着A→B→1→2→3→4→5→C→D的顺序，按照方位角的连续推算原理，利用6.5.2.1之（5）计算的各转折角βi的最或然值βi′，以首方位角 [αAB] 为基础，获得各导线边的最或然方位角αi（i+1）′，直到αCD′。计算公式为：
αi（i+1）′=[（α（i-1）i′＋βi′）±180°] （6-5-9）
由于此时的βi′已不包含误差，因此，根据βi′推算的各导线边的方位角为最或然方位角，且最后推算的已知边CD的最或然方位角αCD′肯定应该等于它的真实方位角[αCD]，即：
αCD′=[αCD] （6-5-10）
若式（6-5-10）不满足要求，说明6.5.2.1之（6）或6.5.2.1之（5）计算过程有误，应重新认真计算。
（7）计算各导线边的近似坐标增量ΔXi（i+1） 、ΔYi（i+1）
利用观测获得的导线边长（水平距离）Di（i+1）和6.5.2.1之（6）计算的各导线边的最或然方位角αi（i+1）′进行，计算公式为：
ΔXi（i+1） = Di（i+1）×cosαi（i+1）′ （6-5-11）
ΔYi（i+1） = Di（i+1）×sinαi（i+1）′ （6-5-12）
由于观测获得的导线边长（水平距离）Di（i+1）包含误差，因此，根据Di（i+1）计算的各导线边的坐标增量ΔXi（i+1） 、ΔYi（i+1）为近似坐标增量，且由B到C的近似坐标增量之和肯定不等于C、B间的真实坐标之差，B到C的近似坐标增量之和与C、B间的真实坐标之差反映的就是6条观测导线边长（DB1、D12、D23、D34、D45、D5C）误差引起的坐标增量总误差，该总误差被称为坐标闭合差。坐标闭合差有2个，一个是横坐标（Y）闭合差fY、另一个是纵坐标（X）闭合差fX。
（8）计算坐标闭合差fY、fX
横坐标闭合差fY的计算公式是：
（6-5-13）
纵坐标闭合差fX的计算公式是：
（6-5-14）
由于导线有长有短，跟距离测量一样，对纵、横坐标闭合差fX、fY规定限差也是没有意义的。应该看其相对误差。
不难理解，fX、fY就是根据近似坐标增量ΔXi（i+1） 、ΔYi（i+1）算得的C点位置（称假C点）与C点真实位置的纵、横坐标差，假C点与真实C点的直线距离f即为导线的总闭合差（全长闭合差）。
（9）计算导线的总闭合差（全长闭合差）f
计算公式为：
（6-5-15）
同样，导线有长有短，对总闭合差f规定限差也是没有意义的。应该看其相对误差。
（10）计算导线的总相对闭合差（全长相对闭合差）K
计算公式为：
（6-5-16）
K不得超限。
若K超限则说明某个（或某几个）导线边长测量有错误、应重新测量。只有当K不超限时方可进行下一步计算。即要求
K≤KX （6-5-17）
KX见表 7-4-2。对三级导线
KX=1/6 000 （6-5-18）
（11）计算各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi（i+1） 、vΔYi（i+1）
1）X坐标增量改正数vΔXi（i+1）的计算。fX是导线上各个边长测量误差综合作用产生的，导线边长越长对fX的影响越大，因此，其分摊的误差量也应该越大，故，各导线边的X坐标增量改正数与其导线边长成正比。因此，有：
（6-5-19）
vΔXi（i+1）的取位同A、B、C、D坐标值，即A、B、C、D坐标取位到“mm”、则vΔXi（i+1）也取位到“mm”，“mm”以后的值进行凑整处理。处理方法同2.5.2.1之（2）。
vΔXi（i+1）凑整处理后会带来一个坐标闭合差fX分摊不完全的问题，因此，必须求出坐标闭合差fX分摊后的残余误差δx（或残余改正量δvx），即
（6-5-20）
若根据式（6-5-20）计算出的δvx=0则说明分摊完善，若δvx≠0则需要进行二次分摊。
当δvx≠0时δvx的值通常也都很小（数值在最小保留位数档，数目字远小于测量导线边的个数），二次分摊的原则是将δvx拆单（拆成若干个1）按照vΔXi（i+1）值的大小由大到小顺序依次分摊、直到全部分摊完毕为止。比如图6-5-1计算的δvx=3mm（说明多分了3mm），则给最大的vΔXi（i+1）减少1mm、给第二大的vΔXi（i+1）减少1mm、给第三大的vΔXi（i+1）减少1mm、其余的vΔXi（i+1）不变。
这样，二次分摊后各vΔXi（i+1）就变成了vΔXi（i+1）′，应再次校核一下：
（6-5-21）
校核无误方可进行下一步计算。
2）Y坐标增量改正数vΔYi（i+1）的计算。vΔYi（i+1）的计算方法同vΔXi（i+1）。计算公式为
（6-5-22）
同样应处理残余误差δY（或残余改正量δvY），进行必要的二次分摊，获得vΔYi（i+1）′。
（6-5-23）
最后也应再次校核一下计算结果，即：
（6-5-24）
校核无误方可进行下一步计算。
（12）计算各导线边的最或然坐标增量ΔXi（i+1） ′、ΔYi（i+1）′
将6.5.2.1之（7）计算的各导线边的近似坐标增量ΔXi（i+1） 、ΔYi（i+1）加上6.5.2.1之（11） 计算的各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi（i+1） ′、vΔYi（i+1）′即得各导线边的最或然坐标增量ΔXi（i+1） ′、ΔYi（i+1）′，计算公式为：
ΔXi（i+1）′= ΔXi（i+1）＋vΔXi（i+1）′ （6-5-25）
ΔYi（i+1）′= ΔYi（i+1）＋vΔYi（i+1）′ （6-5-26）
为了防止计算错误，应校核：
（6-5-27）
（6-5-28）
若式（6-5-27）、（6-5-28）不满足，则说明6.5.2.1之（12）部分计算有误，若经检查6.5.2.1之（12）部分计算正确则6.5.2.1之（1）部分计算有误。
（13）计算各导线点的最或然坐标Xi+1 ′、Yi+1′
计算公式为：
Xi+1 ′=Xi′＋ΔXi（i+1）′ （6-5-29）
Yi+1′ =Yi′＋ΔYi（i+1）′ （6-5-30）
从已知点B开始，沿着B→1→2→3→4→5→C的顺序进行计算，最后一对计算结果是C点的最或然坐标XC ′、YC′。C点的最或然坐标XC ′、YC′应该与其真实坐标XC 、YC相同，即：
XC ′= XC （6-5-31）
YC′ =YC （6-5-32）
式（6-5-31）、（6-5-32）不满足则说明6.5.2.1之（13）部分计算有误，应重新认真计算。
6.5.2.2 闭合导线计算
闭合导线的计算方法与附合导线完全相同，只须根据具体情况将6.5.2.1中的A、B、C、D点进行相应替换即可。图6-5-1与图6-5-2、图6-5-3的替换关系是：
（1）图6-5-1中的A就是图6-5-2中的A、同样也是图6-5-3中的A；
（2）图6-5-1中的B就是图6-5-2中的B、同样也是图6-5-3中的B；
（3）图6-5-1中的C就是图6-5-2中的B、同样也是图6-5-3中的A；
（4）图6-5-1中的D就是图6-5-2中的A、同样也是图6-5-3中的B。
图6-5-2、图6-5-3计算时只须按上述替换原则用相应A、B替换图6-5-1中C、D即可。
6.5.2.3 支导线计算
支导线内业计算只须进行6.5.2.1之（1）、（2）、（7）、（13）四步计算，不存在近似值和不符值的问题。
算例（附和导线）
仍见图6-5-1。导线精度为三级导线。已知点A、B、C、D四点坐标为XA=326751.593m、YA=541623.089m；XB=326183.152m、YB=542240.249m；XC=325098.299m、YC=542354.307m；XD=324430.580m、YD=541994.915m。转折角（左角，水平角）观测值βB=157°47′15″、β1=230°22′06″、β2=160°41′56″、β3=241°57′17″、β4=141°35′47″、β5=252°47′14″、βC=150°26′40″。导线边长（水平距离）测量值DB1=246.138m、D12=215.831m、D23=197.219m、D34=284.681m、D45=226.450m、D5C=301.811m。求未知点1、2、3、4、5点的最或然坐标。计算过程如下：
（1）反算首、尾方位角[αAB]、[αCD]
[αAB]=132°38′49″；[αCD]=208°17′27″。
（2）计算各导线边的近似方位角αi（i+1）
αB1=110°26′04″；α12=160°48′10″；α23=141°30′06″；α34=203°27′23″；α45=165°03′10″；α5C=237°50′24″；αCD=208°17′04″。
（3）计算导线的方位角闭合差ωα
ωα=αCD－[αCD]=－23″
对三级导线
ωαX=±
=±63″
│ωα│≤│ωαX│，
故，转折角观测结果合格。
（4）计算各转折角βi的改正数vβi
vβi=－ωα/n=23″/7=3.28″=3″
=3″×7－23″=－2″
故，vβ3=vβ5=3″+1″=4″；vβB=vβ1=vβ2=vβ4=vβC=3″
校核证明计算无误。
（5）计算各转折角βi的最或然值βi′
根据公式βi′=βi＋vβi′，得各转折角（左角，水平角）的最或然值βi′。
βB′=157°47′18″；β1′=230°22′09″；β2′=160°41′59″；β3′=241°57′21″；β4′=141°35′50″；β5′=252°47′18″；βC′=150°26′43″。
（6）计算各导线边的最或然方位角αi（i+1）′
αB1′=110°26′07″
α12′=160°48′16″；α23′=141°30′15″；α34′=203°27′36″；α45′=165°03′26″；α5C′=237°50′44″；αCD′=208°17′27″。
αCD′=[αCD]，计算过程无误。
（7）计算各导线边的近似坐标增量ΔXi（i+1）、ΔYi（i+1）
ΔXB1=－85.939m、ΔYB1=230.648m；ΔX12=－203.831m、ΔY12=70.964m；ΔX23=－154.354m、ΔY23=122.760m；ΔX34=－261.149m、ΔY34=－113.334m；ΔX45=－218.792m、ΔY45=58.391m；ΔX5C=－160.625m、ΔY5C=－255.518m。
（8）计算坐标闭合差fY、fX
=0.163m；
=－0.147m
（9）计算导线的总闭合差（全长闭合差）f
=0.219m
（10）计算导线的总相对闭合差（全长相对闭合差）K
=0.219m/1472.130m=1/6700
对三级导线KX=1/6000，K≤KX，导线边长（水平距离）测量合格。
（11）计算各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi（i+1）、vΔYi（i+1）
vΔXB1=－0.027m、vΔYB1=0.024m；vΔX12=－0.024m、vΔY12=0.022m；vΔX23=－0.022m、vΔY23=0.020m；vΔX34=－0.032m、vΔY34=0.028m；vΔX45=－0.025m、vΔY45=0.023m；vΔX5C=－0.033m、vΔY5C=0.030m。
=0；
=0；
经校核，计算无误。
（12）计算各导线边的最或然坐标增量ΔXi（i+1）′、ΔYi（i+1）′
ΔXB1′=－85.966m、ΔYB1′=230.672m；ΔX12′=－203.855m、ΔY12′=70.986m；ΔX23′=－154.376m、ΔY23′=122.780m；ΔX34′=－261.181m、ΔY34′=－113.306m；ΔX45′=－218.817m、ΔY45′=58.414m；ΔX5C′=－160.658m、ΔY5C′=－255.488m。
；
。经校核，计算无误。
（13）计算各导线点的最或然坐标Xi+1′、Yi+1′
X1′=326097.186m、Y1′=542470.921m；X2′=325893.331m、Y2′=542541.907m；X3′=325738.955m、Y3′=542664.687m；X4′=325477.774m、Y4′=542551.381m；X5′=325258.957m、Y5′=542609.795m；XC′=325098.299m、YC′=542354.307m。
XC′=XC，YC′=YC。经校核计算无误。导线计算结束。
